Данный текст - это параллельный конспект книг
Киттеля (Берклеевский курс физики, т.2)
и Фейнмана (Фейнмановские лекции по физике, тт. 5..7),
написанных соответственно в системах СГСЭ и СИ.
Цель такого конспекта - продемонстрировать различие построения
этих систем и показать, как в общем случае преобразовать
нужную формулу из одной системы в другую (что бывает необходимо,
когда нужно свести воедино данные из разных работ).
Конспект писался для личных целей и поэтому написан
латиницей (чтобы отсутствие кириллизации Линукса не
мешало его чтению), но при необходимости автор готов
переписать его кириллицей.
Автоматический перевод формул (требующий, к сожалению,
дополнителных усилий по приведению их к виду, понимаемому
программой) реализован в прилагаемом питоновском модуле
smy_6c.py (рассчитан на версию питона 2). Для его работы
необходимо установить пакет sympy (SYMbolic PYthon).
----------------------------------------------------------------
2019,5,26 (ws). Teku[ee srawnenie s-m SGSE i SI.
Opr. \l. polq:
SGSE: SI:
F = q1*q2/r^2 F = (1/(4*pi*eps0))*q1*q2/r^2
(1/(4*pi) - `toby uprostitx
wyr. dlq plosk. kond-ra;
eps0 - `toby ispolxz. amper
kak ed-cu toka; zna`enie
i razm-stx eps0
wyqsnqtsq pozve)
Opr. polq i potenc.:
F = q*E kak w SGSE
E = q/r^2 E = (1/(4*pi*eps0))*q/r^2
E = -grad fi kak w SGSE
fi = q/r fi = (1/(4*pi*eps0))*q/r
Int E ds = 4*pi*q Int E ds = (1/eps0)*q
Pole plastiny:
q = sigma*S kak s SGSE
E*2*S = 4*pi*sigma*S E*2*S = (1/eps0)*sigma*S
=> E = 2*pi*sigma => E = (1/2)*(1/eps0)*sigma
Pole dwuh plastin (= kondensatora):
E = 4*pi*sigma E = (1/eps0)*sigma
d_fi = E*d
Opr. C:
q = C*d_fi
=> C = sigma*S/(4*pi*sigma*d) C = sigma*S/((1/eps0)*sigma*d)
= (1/(4*pi))*S/d = eps0*S/d
Opr. magn. polq:
F = q*E + q/c*v x B F = q*E + q*v x B
Iz soobr. o tom, `to
magn. pole estx relqt. poprawka
k \l-skomu (Parsell, s.184):
B = 2*I/(r*c)
Togda dlq parall. prowoda:
q = lam*dl
dl = v*dt
I = q/dt = lam*v
F = q/c*v x B
= lam*dl/c*v x B
= I/c *dl*B,
a dlq dwuh prowodow - Dlq 2 prowodow - opr. ampera:
F/dl = 2*I1*I2/(r*c^2) f (N/m) = mu0/(4*pi) * 2*I^2/r (A^2/m),
mu0 = 4*pi*1e-7 N/A^2 .
T.e. 1 A = tok, pri k-rom
i pri dl=1 m, r=1 m:
F_SGS = 2*I_SGS^2/c_SGS^2 F_SI = 2e-7 (N)
=> F_SGS*c_SGS^2/2 = I_SGS^2
=> I_SGS^2 = 2e-7*1e5 *1e4*c_SI^2/2 =
1e2*c_SI^2 => I_SGS = 10*c_SI.
T.e.:
1 A = 10*2.998e8 = 2.998e9 ed. SGSE_I,
q = I*dt =>
1 Kl = 2.998e9 ed. SGSE_q.
T.e. q/q_ == q_SGS/q_SI = 10*c_SI.
Prowerka: zarqd \l-na:
q_SI = 1.6021766208e-19
q_SGSE = 4.80320427e-10
otn=q_SGSE/q_SI
print otn/1e9 # -> 2.9979...
Wozwr. k zakonu Kulona:
F = q^2/r^2 F_ = (1/(4*pi*eps0))*q_^2/r_^2
1 = F/q^2*r^2 1 = F_* (4*pi*eps0)/q_^2*r_^2
1 = F_/F*(4*pi*eps0)/(q_/q)^2*(r_/r)^2 =
1e-5 *(4*pi*eps0) * (10*c_SI)^2 * 1e-2 =>
(4*pi*eps0) = 1e7 /(10*c_SI)^2 =>
eps0 = 1e7/c_SI^2/(4*pi) = 8.8537e-12
A dolvno bytx:
eps0 = 8.854e-12 Kl^2/(N*m^2) . Sowpalo.
Togda
eps0*mu0 = 1e7/c_SI^2/(4*pi) * 4*pi*1e-7 Kl^2/(N*m^2) * N/A^2 =
1/c_SI^2 (A/sek)^2/(m^2) /A^2 =
1/c_SI^2 sek^2/m^2 .
Dalee ispolxz. tv. mu0 == 1/(eps0*c^2) .
----
Wozwr. k wyr. dlq magn. polq prowoda:
f (N/m) = mu0/(4*pi) * 2*I1*I2/r
F = q*v x B
= lam*dl*v x B
= I*dl*B =>
F/dl = I2*B = mu0/(4*pi) * 2*I1*I2/r =>
B = 2*I/(r*c) B = mu0/(4*pi) * 2*I/r
Sledstwie:
Int B dl = Int B dl = mu0/(4*pi)*2*I/r*2*pi*r =
2*I/(r*c)*2*pi*r = mu0*I == I/(eps0*c^2)
(4*pi/c)*I
rot B = (4*pi/c)*J rot B = mu0*J
Wwodim
B = rot A, Kak w SGSE.
i iz analogii urawnenij dlq fi i A
(Parsell, s.202..206 i 355) polu`. zakon Bio-Sawara-Lapl.:
rot rot A = 4*pi/c * J rot rot A = mu0*J
Nabla^2 Ax = -4*pi*Jx/c Nabla^2 Ax = -mu0*Jx
A = (1/c)* Int j/r*dV A = mu0/(4*pi) Int j*dV/r
ili 1/c Int I*dl/r ili mu0/(4*pi) Int I*dl/r
dA = I/c * dl/r dA = mu0/(4*pi) * I*dl/r
dB = I/c *dl x unit(r)/r^2 dB = mu0/(4*pi) I x e12/r^2 dl
E[@ sledstwie: pustx peremy`ka ramki dwivetsq; rezulxtat
w s-me SI sogl. s priwedennym w
https://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_электромагнитной_индукции_Фарадея
.
F = q*E + q/c v*B; F = q*E + q/c v*B;
dlina peremy`ki - l, -> to ve bez 1/c
=> v = dx/dt
treb. kompensir. sila =
q*E = q*EDS/l
=>
q*EDS/l + q/c*dx/dt *B
=> EDS = 1/c*d(B*S)/dt EDS = d(B*S)/dt
----
Perehodim k wopr. o E, P i D.
F-ly dlq SI ber@m iz
https://ru.wikipedia.org/wiki/Диэлектрическая_проницаемость .
Dlq rawnomerno \l. polqriz. materiala: razbiwaem
na stolbiki wdolx napr. polqrizacii, a stolbiki - na
"tabletki"; zarqdy pereme]. na werhn. i nivn. grani
s sohr. dip. mom., `toby dalxnee pole ne izmen., a pri
sostykowke tabletok `toby zarqdy na stykah granej
skompensirowalisx.
p = q*d
P = p/(S*d) (== dip. mom. ed-cy ob'@ma)
q = sigma*S
=>
sigma = q/S = p/(S*d) = P.
Wnutri plastiny, polqriz. perp. swoej pl-sti -
polu`. kak dlq plosk. kondensatora:
E=-4*pi*P E = -(1/eps0)*P
E = E0 - 4*pi*P E = E0 - (1/eps0)*P
=> E0 = E + 4*pi*P => E0 = E + (1/eps0)*P
Obozn.:
D == E + 4*pi*P D == eps0*E + P
=> =>
D = E0 D = eps0*E0
Smysl wwedeniq D:
div E = 4*pi*(rho_swob + rho_swqz) div E = (1/eps0)*(rho_swob + rho_swqz)
div P = -rho_swqz . Kak w SGSE.
div D = 4*pi*rho_swob . div D = eps0*div E + div P
= (rho_swob + rho_swqz) - rho_swqz
= rho_swob .
Wwod hi i eps (napomin., `to so wne[. polem
swqzano E0, a E - polu`. s dobawkoj ot polqrizacii!):
D = E0 = E + 4*pi*P D = eps0*E0 = eps0*E + P
= (1+4*pi*hi)*E = eps0*(1+hi)*E
= eps*E = eps0*eps*E
=>
eps = E0/E eps = E0/E
eps = 1+4*pi*hi eps = 1+hi
----
Perehodim k wopr. o B, M i H.
Ispolxz.:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Намагниченность ,
https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнения_Максвелла .
Magn. dip. moment petli s tokom:
dlq malogo kolxca s plo]adx; 'a'
(Parsell, s.355):
A = I*a/(c*r^2) * sin(theta); (Wmesto parall. wywoda zada@m opr.:
prirawn. k mm_=Ene_/B_, mm=Ene/B; l_/l=100 etc.;
A = vec(m) x vec(r^) / r^2 mm_ = I_*l_**2/c_ -> mm = I*l**2).
=>
vec(m) == (I/c)*vec(a) mm = I*S
Wra]. mom. N = m x B;
sr. dlq \l. dip.: N = p x E.
min E - pri m parall. B;
delta E = 2*m*B.
Fx=m*grad Bx i analog. po y i z.
Parsell, S.373:
M == vec(m)*N/V Kak w SGSE
(magn. dip. mom. ed-cy ob'@ma).
Parsell, s.375:
Analog. tomu, kak dlq odnor. \l. polqrizacii razbiwali
na stolbiki, a stolbiki - na "tabletki", dlq magn. - polezno
rabitx na sloi, sloi - na "plitki", smyk. bez zazorow,
w kavdoj plitke dip. mom. opisatx tokom po perimetru:
m = (I/c)*da = M*da*dz => I = M*c*dz ;
A w SI - m = I*da -> I = M*dz;
togda w kavdom sloe toki wnutri kompensir., i osta@tsq
tok po perimetru.
~toby ponqtx smysl hi_m i mu, po analogii s rassm-niem
pri razbore E, P i D plastiny rassmotrim odnorodno namagn.
stervenx s M parall. ego osi.
-> tok po perimetru, = M*c*dz.
Rassm. kontur:
/-----\
| |
xx|xxxxx|xx --> z
| |
\-----/
xxxxxxxxxxx
; I wnutri kontura = M*c*dz; Int B dl = B*dz (t.k.
snaruvi B->0), i on ve = 4*pi/c * M*c*dz =>
B = 4*pi*M .
A w SI: Int B dl = mu0*I = mu0*M*dz =>
B = mu0*M .
|l. dipolx w \l. pole:
-------
+ E>0, p>0. Wnutri dipolxnoj pary zarqdow E umenx[eno,
- hotq uweli`no w oblastqh wblizi pol;sow.
+++++++
Magn. dipolx w magn. pole:
o o + +
Wne[nee pole umenxpeno w obl. po \kwatoru snaruvi ot
dipolxnogo kolxca, no wnutri ono uweli`eno!
T.e. znak - '+': B = +4*pi*M .
B = B0 + 4*pi*M B = B0 + mu0*M
=> B0 = B - 4*pi*M B0 = B - mu0*M
Obozn.:
H == B - 4*pi*M H == B/mu0 - M <=> B = mu0*(H+M)
=> =>
H = B0 H = B0/mu0
Smysl wwedeniq H:
rot B = (4*pi/c)*J rot B = mu0*J
J = J_swob + J_swqz
Parsell, s.377-383: (Wykladki ne prodelany -
rot M = J_swqz/c ber@m gotow. rezulxtat !!!)
rot H
= (4*pi/c)*J - 4*pi*J_swqz/c
= (4*pi/c)*J_swob .
Int H dl = 1/c * J_swob Int H dl = I_swob
div B =0, no div H na koncah namagn. cil-dra !=0 !
Wwod hi_m i mu (napomin., `to so wne[. polem
swqzano B0, a B - polu`. s dobawkoj ot polqrizacii!):
H = B0 = B - 4*pi*M
Parsell, s.374: movno bylo by opr. M = hi_m*B ;
realxno opr. `erez H: M = hi_m*H .
Togda s SGSE logi`no wzqtx f-ly dlq D = E + 4*pi*P
i zamenitx hi na hi_m i eps na mu:
M = hi_m*H M = hi_m*H
B = H + 4*pi*M B = mu0*(H+M)
= (1+4*pi*hi_m)*H = mu0*(1+hi_m)*H
= mu*H = mu0*mu*H
=>
mu = B/H mu = B/mu0/H
mu = 1+4*pi*hi_m mu = 1+hi_m
Dlq srawneniq dubliruem formuly dlq E,P,D:
D = E0 = E + 4*pi*P D = eps0*E0 = eps0*E + P
= (1+4*pi*hi)*E = eps0*(1+hi)*E
= eps*E = eps0*eps*E
=>
eps = E0/E eps = E0/E
eps = 1+4*pi*hi eps = 1+hi
Zame`,: dlq kond-ra my kontrolir. ne E0=D,
a E, a dlw \lektromagnita - ne B, a imenno B0=H.
A popytka ispolxz. M = hi_m_*B -> pri pereh. hi_m_
`erez 1/(4*pi), oby`noe mu budet pereh. `erez besk-stx,
t.e. budet intuitiwno neo`ewidnym.
----
Parsell, s.429: dany f-ly dlq kw.-meh. u`@ta wklada
w p i L ot A. Iz razm-sti predp., `to w SI prosto ujd@t 'c';
prowodim perewod formuly s l_/l = 100 sm/m etc. ->
tak i estx.
p = m*v + (q/c)*A p = m*v + q*A
L = r x (m*v + (q/c)*A) L = r x (m*v + q*A)
----
Fejnman 6, 29: E = -dA/dt; pro wybor znaka sm. w zapisi
ot 2019,5,29, a zdesx rassm. wywod bez u`@ta znaka,
i znak wpis. tk. w okon`at. wyr.:
B = rot A
int B ds = Int A dl =>
SGSE SI
EDS = 1/c*d(B*S)/dt EDS = d(B*S)/dt
= 1/c d(Int B ds)/dt
= 1/c d(Int A dl)/dt;
d EDS = 1/c dA/dt dl
=> d EDS/dl = E = -1/c*dA/dt . E = -dA/dt
Dopoln. ot 2019,8,31: sm. tv. zapisx ot 2019,8,30 -
tam ispolxz. prog. perewoda formul mevdu SI i SGS| (sm.
190815_smy, smy_6c.py i test6c.py), i s e@ pomo]x;
osu[. perew. iz SI w SGS| ur. Maksw., wyr. dlq
pl-sti \nerg. polq i wekt. Pohntinga etc.
----------------------------------------------------
2019,8,30 (pt). Izbrann. f-ly - testir. SI <-> SGSE.
SI SGS|
rho_pol = -div P -//-
j_pol = dP/dt -//-
j_mag = rot M j_mag = c*rot M
j = sigma*E -//-
D == eps0*E + P D = E + 4*pi*P
H == eps0*c^2*B - M == (1/mu0)*B - M H = B - 4*pi*M
rot E = -dB/dt rot E = -1/c dB/dt
rot H = j_swob + dD/dt rot H = (4*pi/c)*j + 1/c*dD/dt
div D = rho_swob div D = 4*pi*rho
div B = 0 -//-
Nabla^2 A - 1/c^2 d2A/dt^2 = -j/(eps0*c^2) Nabla^2 A - 1/c^2 d2A/dt^2 = -4*pi/c*j
Nabla^2 fi - 1/c^2 d2fi/dt^2 = -rho/eps0 Nabla^2 fi - 1/c^2 d2fi/dt^2 = -4*pi*rho
u = eps0/2*E^2 + eps0*c^2/2*B^2, (E^2+B^2)/(8*pi)
S_Point = eps0*c^2 * ExB c/(4*pi)*ExB
Ene/t = S_Point*S -//-
(Konec formul dlq testirowaniq).
Polu`.:
rot E_ = -1/c dB/dt
rot H_ = (4*pi/c_)*j_ + 1/c_*dD_/dt_
div D_ = 4*pi*rho_el_
div B_ = 0
A u Parsella:
rot E = -1/c dB/dt <- sowp.
rot B = 1/c dD/dt + 4*pi/c*J <- wmesto H u Parsella - B.
div D = 4*pi*rho <- sowp.
div B = 0 <- sowp.
Smotrim:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнения_Максвелла
-> da, tak i estx, rot B nado zamenitx na rot H.
Dlq wekt. Pojntinga:
S_Point = eps0*c^2 * ExB
->
S_Po_ = B_*E_*c_/(4*pi)
Smotrim
https://ru.wikipedia.org/wiki/Вектор_Пойнтинга
-> dlq SGSE - H wm. B -> sowp.,
w SI - ExH; H == B/mu0; eps0*mu0=1/c^2 => 1/mu0 = eps0*c^2
-> sowp.
A dlq wyr. s Nabla^2 polu`.:
Nabla^2 A_ - 1/c_**2 d2A_/dt_2 = -4*pi*j_/c_
Nabla^2 fi_ - 1/c_**2 d2fi_/dt_2 = -4*pi*rho_el_
Prawdopodobno.
----------------------------------------------------------------
2019,10,13 (ws). (Otrywok iz polnoj zapisi + dopolneniq).
В программе smy_6c.py находятся коэффициенты пересчёта
величин между системами СГСЭ и СИ; в простых случаях,
используя эти коэффициенты, преобразование формул
можно осуществить вручную. Ниже - пример: преобразование
формулы для связи B, M и H в продольно намагниченном стержне
из СГСЭ в СИ.
W stervne:
H == B - 4*pi*M H == B/mu0 - M
=>
B = H + 4*pi*M B = mu0*(H+M)
W ots. H:
B = 4*pi*M B = mu0*M
I M, i B - w Gs M - kak H - w A/m, B - w Tl.
Prowerka:
B_ = 1e4*B ; B_ в гауссах = 1e4 * B в теслах
m_ma_ = 1e3*m_ma ; магн. мом. в эрг/Гс и Дж/Тл
M_ma_ = 1e-3*M_ma ; магн. мом. единицы объёма в эрг/Гс/см3 и Дж/Тл/м3
H_ = 4*pi*1e-3 * H ; поле H в эрстедах и в А/м
Берём ф-лу для связи полей и намагниченности в стержне
в СГСЭ и подставляем вместо величин в СГСЭ правые части
вышеприведенных равенств:
B_ = H_ + 4*pi*M_
1e4*B = 4*pi*1e-3*H + 4*pi*1e-3*M
B = 4*pi*1e-7*(H + М) = mu0*(H+M).
Получилась правильная формула в СИ.
----------------------------------------------------------------