Учите математику, чтобы не обосрамиться (для 
учеников младших классов).
`
     Ниже рассказывается, как один оратор в США 
обосрамился из-за плохого знания математики, и 
разбирается логика его оппонента и возможное 
возражение. Учите математику, чтобы не обосрамиться 
в аналогичной ситуации! (Кстати, по поводу учебников 
- см. примечание в конце).
`
     Ниже идёт цитата из статьи (ссылка м.б. устаревшей): 

http://pravda.ru/main/2002/08/23/46129_.html 
; автор - иеродиакон Макарий.
`
     ...Одна из докладчиц на митинге в Ньютоне 
гордо заявила, что вопреки христианским активистам, 
"среди растлителей малолетних гомосексуалисты 
составляют всего лишь 30%" (по другим данным - до 
60%, но не в том дело). На что глава 
Массачузеттской Христианской Коалиции Эвелин Рилли 
заметила следующее: "Выходит, вы признаете, что 
среди гомосексуалистов растлители малолетних 
встречаются вдесятеро чаще, чем среди всего 
населения в целом, не так ли?" Ответ - гробовое 
молчание, и не только из-за неприятного признания: 
русским трудно этому поверить, но по сегодняшним 
стандартам свободное владение арифметикой далеко не 
типично для такого рода публики.
`
     (Конец цитаты)
`
     Разберём этот пример. Тем, кто не любит 
математику: представьте, что ваш коллега на митинге 
ляпнул нечто подобное, выслушал подобный вопрос, 
повисло молчание... Вообще-то интуиция должна 
подсказать, что данных мало для однозначного 
вывода, но посмотрим, какие выводы из имеющихся 
данных всё-таки можно сделать.
`
    Мы рассматриваем два признака: (1) растлитель 
или не растлитель; (2) гомосексуалист или не 
гомосексуалист. Тогда каждый человек попадает 
в одну из 4 категорий:
  00: не растлитель, не гомосексуалист;
  01: не растлитель,  гомосексуалист;
  10:  растлитель,   не гомосексуалист;
  11:  растлитель,    гомосексуалист;
здесь в обозначении 0 или 1 на первом месте 
указывает, растлитель ли перед нами, а 0 или 1 на 
втором месте - гомосексуалист ли.
     Обозначим долю людей, попадающих в 
соответствующие категории, какой-нибудь буквой 
(например, r) с индексами 00, 01, 10, 11. Для 
наглядности можно записывать величины r00, ... в 
виде таблицы
     нг  г
нр  r00 r01
 р  r10 r11
("р" - растлитель, "г" - гомосексуалист, "н" - 
"не-"). Например, если у нас 88% людей - не 
растлители и не гомосексуалисты, 2% - не растлители 
и гомосексуалисты, 7% - растлители и не 
гомосексуалисты, и 3% - растлители и 
гомосексуалисты, то таблица имеет вид
     нг   г
нр  0.88 0.02
р   0.07 0.03
.
     Как видим, у нас 4 неизвестных: r00, r01, r10, 
r11. При этом известно следующее:
     (1) сумма этих величин равна единице 
(напоминаем, что мы всех людей разделили на 4 
категории, и каждая из наших неизвестных - это доля 
людей соответствующей категории среди всех людей; 
сумма долей, естественно, равна единице):
`
 r00+r01+r10+r11 = 1;      (1)
`
     (2) доля растлителей-гомосексуалистов среди 
всех растлителей - как гомосексуалистов, так и 
не-гомосексуалистов - равна 0,3:
`
 r11/(r10+r11)=0,3.      (2)
`
     Второе условие можно переписать в 
эквивалентной форме: 
`
r11/r10=0.3/0.7        (2a)
`
(доля растлителей-негомосексуалистов среди всех 
растлителей равна 1-0.3=0.7, а отношение - 
0.3/0.7).
`
     В типичных случаях число уравнений должно быть 
равно числу неизвестных (если уравнений меньше - 
решений бесконечно много, если уравнений больше - 
решений вообще нет; естественно, мы отвлекаемся от 
случаев, когда уравнение имеет вид x^2+y^2=0, когда 
очередное уравнение не даёт никакой новой 
информации и т.п.). А у нас неизвестных четыре, а 
уравнений всего два. Вывод: однозначно определить 
r00 и т.п. из приведенных данных нельзя.
`
     Но постойте, оппонент и не определяет r00 и 
т.п., он утверждает, что доля растлителей среди 
гомосексуалистов в 10 раз больше, чем среди 
негомосексуалистов. Может, это каким-то образом 
оказывается следствием приведенных данных - 
несмотря на невозможность определить r00 и т.п.?
`
     Запишем утверждение оппонента:
`
(r11/(r01+r11)) / (r10/(r00+r10)) = 10.
`
     Переписываем в более удобном виде:
`
 r11 * (r00+r10)
---------------- = 10.
 (r01+r11) * r10
`
     Игнорируем утверждение оппонента, что 
выражение в левой части равно 10, и пытаемся 
оценить его самостоятельно. Ранее было принято, что 
r11/r10 = 0.3/0.7. Остаётся
`
 0,3    (r00+r10)
----- * --------- .        (3)
 0,7    (r01+r11)
`
Далее, r00+r10 - это доля всех негомосексуалистов 
(независимо от того, являются ли они растлителями), 
а r01+r11 - аналогичным образом - доля всех 
гомосексуалистов. Таким образом, второй сомножитель 
в выражении (3) имеет смысл отношения числа 
негомосексуалистов к числу гомосексуалистов. При 
этом ни оратор, ни оппонент не говорят о том, чему 
это отношение равно. С другой стороны, из 
популярных передач приходилось слышать, что в США 
гомосексуалистов около 5%, т.е. отношение - 
~95/5=19; с учётом неопределённости значения 5% 
есть смысл округлить это отношение до 20. Тогда 
выражение (3) оказывается порядка (3/7)*20 = 6/7*10 
~ 9. Очевидно, именно так и рассуждал оппонент (а 
10 вместо 9 - результат округления).
`
     Вывод: оппонент неявно использовал 
дополнительную информацию:
`
 (r00+r10)/(r01+r11)=95/5.       (4)
`
     (Теперь логика оппонента ясна: при подсчёте доли 
растлителей среди не-гомосексуалистов и гомосексуалистов
мы делим число растлителей в соответсвующей группе (это 
число для не-гомосексуалистов более чем вдвое больше, чем 
для гомосексуалистов) на общую численность этой группы
(а общая численность для не-гомосексуалистов больше 
примерно в 20 раз), и результат для не-гомосексуалистов
оказывается почти в 10 раз меньшим).
`
     Таким образом, оратору можно было бы 
порекомендовать оспорить именно эту дополнительную 
информацию; естественно, ему выгодно представить 
рассматриваемое отношение как можно более низким; 
можно было бы заявить, что среди не-растлителей 
имеется тенденция скрывать свой гомосексуализм, а 
растлителям терять нечего, и они честно его 
признают и т.п. При этом, если принять, что 
гомосексуалистов - не 5, а 50%, то отношение (3) 
оказывается равным 3/7 * 50/50 = 3/7, т.е. 
гомосексуалисты оказываются менее склонны к 
растлению малолетних, quod erat demonstrandum.
`
     Нас, однако, интересует другое: с учётом 
дополнительной информации у нас уже не два, а три 
уравнения. Имея меньше уравнений, чем неизвестных, 
иногда полезно выразить все переменные через некий 
набор независимых параметров, число которых равно 
разности между числом переменных и числом 
неизвестных. В нашем случае всё должно выразиться 
через единственный параметр.
`
     Ищем удобную параметризацию; обнаруживаем, что 
удобной является следующая параметризация: пусть x 
- это доля растлителей среди гомосексуалистов, y - 
среди не-гомосексуалистов. Запишем нашу таблицу в 
следующем виде:
`
       нг          г
нр  0.95*(1-y) 0.05*(1-x)
р   0.95*y     0.05*x
.
     При этом автоматически выполнены условия (1) и 
(4). Учитываем теперь условие (2):
`
 0.05*x     3            0.05*7
-------- = ---  =>  y = -------- * x .
 0.95*y     7            0.95*3
`
     Теперь смотрим, каков диапазон возможных 
значений параметра x, чтобы ни одна из долей не 
стала <0 или >1 (что бессмысленно). По построению 
0<=x<=1. При таком ограничении p11=0,05*x и 
p01=0,05*(1-x) всегда лежат в допустимых пределах. 
Далее, p10 = 0,95*y = 0.05*7/3*x - аналогично. 
Далее, p00 = 0,95*(1-y) = 0,95 - 0,05*7/3*x - 
аналогично. Т.о., допустимы все значения x от 0 до 
1. Вот как выглядит таблица в крайних случаях:
`
x=0 (никто из гомосексуалистов не является 
растлителем; тогда заодно оказывается, что 
растлителей вообще не бывает, и лишено смысла
введенное оппонентом отношение) или x=20e-6
(==20*10^-6):
     нг   г
нр  0.95 0.05    или    0.95   0.05  
р   0.00 0.00          2.3e-6  1e-6
;
`
x=1 (все гомосексуалисты поголовно - растлители; 
результаты округляем):
     нг   г
нр  0.83 0.00
р   0.12 0.05
.
`
     Примечание: разумеется, чтобы учить 
математику, нужны нормальные учебники. К сожалению, от 
десятилетия к десятилетию учебные программы всё больше 
упрощаются. Более того, в нашем национальном гетто при 
примитивном математическом содержании в задачи ещё и пытаются 
вложить пропагандистское содержание. Пример - задача из 
учебника для 5-го класса: "29 января 1918 года в битве под 
Крутами пало 300 украинских студентов. Сколько времени прошло 
со дня битвы под Крутами?" В данном случае, похоже, имеется 
ещё и искажение фактов: по другим данным, необстреленных 
студентов, пошедших в ополчение по призыву Центральной рады, 
пало под Крутами 28, а число 300 - из другой оперы, это 
столько (или больше) было казнено попавших в плен участников 
Январского восстания против Центральной рады на заводе 
"Арсенал"". (Возврат к основному тексту).
`